Question

15．已知：如图，正方形OABC的边长为4单位上，OA边在x轴上，OC边在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（1，0），点E为OC的中点，连接BD、BE、DE．
（1）点B的坐标为（4，4）．
（2）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（3）点M为x轴上一个动点，当∠MBD=45°时，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质得到BC=BA，然后利用第一象限点的坐标特征写出B点坐标；
（2）先利用勾股定理分别计算出DE、BE、BD，然后利用勾股定理的逆定理可证明△BDE为直角三角形；
（3）连结BO，根据正方形的性质得BO=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，∠BOA=45°，分类讨论：当点M在点D右侧，如图1，先证明△MBD∽△MOB，利用相似比可得到MB²=MO•MD=MA²+7MA+12，而由勾股定理得到MB²=AB²+AM²，所以MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，解方程得到AM=$\frac{4}{7}$，则此时M点坐标为（$\frac{32}{7}$，0）；当点M在点D左侧，如图2，证明△DOB∽△DBM，利用相似比可计算出DM，从而可确定此时M点的坐标．

解答 解：（1）∵正方形ABCO的边长为4，
∴BC=BA=4，
∴B点坐标为（4，4）；
故答案为（4，4）；
（2）△BDE为直角三角形．理由如下：
∵D（1，0），点E为OC的中点，
∴OE=CE=2，OD=1，
∴AD=3，
∴DE²=OD²+OE²=1+4=5，BE²=CE²+BE²=4+16=20，DB²=AD²+AB²=9+16=25，
∵5+20=25，
∴DE²+BE²=DB²，
∴△BDE为直角三角形，∠BED=90°；
（3）连结BO，
∵正方形ABCO的边长为4，
∴BO=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，∠BOA=45°，
当点M在点D右侧，如图1，
∵∠MBD=∠BOM=45°，∠DMB=∠OBM，
∴△MBD∽△MOB，
∴MB：MO=MD：MB，即MB²=MO•MD，
∴MB²=（MA+4）（MA+3）=MA²+7MA+12，
而MB²=AB²+AM²，
∴MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，
∴AM=$\frac{4}{7}$，
∴OM=4+$\frac{4}{7}$=$\frac{32}{7}$，
∴M点坐标为（$\frac{32}{7}$，0）；
当点M在点D左侧，如图2，
∵∠MBD=∠BOD=45°，∠ODB=∠BDM，
∴△DOB∽△DBM，
∴OD：BD=BD：DM，
即1：5=5：DM，
∴DM=25，
∴MO=MD-OD=25-1=24，
∴M点坐标为（-24，0），
综上所述，M点的坐标为（-24，0）或（$\frac{32}{7}$，0）．

点评 本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性质，能利用两点间的距离公式计算线段的长；会运用相似比进行几何计算，同时注意分类讨论思想的运用．