【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与
轴交于点
与
轴交于点
二次函数
的图象经过
两点,且与
轴的负半轴交于点
.
求二次函数的解析式及点
的坐标.
点
是线段
上的一动点,动点
在直线
下方的二次函数图象上.设点
的横坐标为
.过点
作
于点
求线段
的长关于
的函数解析式,并求线段
的最大值.
【答案】(1),点
的坐标为
;(2)
,
有最大值
【解析】
(1)根据一次函数的解析式,可得B,C的坐标,由待定系数法,可求得二次函数的解析式;
(2)过点作
轴的平行线与
交于点
,由D,H的坐标特征,可设
,
,易得BOC~DMH,从而得
,进而即可得到结论.
(1)∵直线与
轴交于点
,与
轴交于点
,
∴令y=0,得,解得:x=4,令x=0,得:y=-2,
∴点的坐标分别为
.
将点的坐标代入二次函数的解析式得:
,解得:
,
∴二次函数的解析式为:,
当时,
,解得:
或
,
点
的坐标为
;
(2)过点作
轴的平行线与
交于点
,
∵OB=4,OC=2,
∴BC=,
∵点的横坐标为
,点
是线段
上的一动点,动点
在直线
下方的二次函数图象上,
∴点,点
(0<m<4),
∵DH∥y轴,
∴∠OCB=∠MHD,
∵∠OCB+∠OBC=∠MHD+∠MDH=90°,
∴,
∵∠BOC=∠DMH=90°,
∴BOC~DMH,
∴,
,(0<m<4),
,
∴当m=2时,的最大值=
.
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【题目】某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1:.
(1)求新坡面的坡角∠CAB的度数;
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.
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【题目】下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程.
已知:直线l.
求作:△ABC,使得∠ACB=90°,∠ABC=30°.
作法:如图,
①在直线l上任取两点O,A;
②以点O为圆心,OA长为半径画弧,交直线l于点B;
③以点A为圆心,AO长为半径画弧,交于点C;
④连接AC,BC.
所以△ABC就是所求作的三角形.
根据小明设计的尺规作图过程:
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:在⊙O中,AB为直径,
∴∠ACB=90°(① ),(填推理的依据)
连接OC
∵OA=OC=AC,
∴∠CAB=60°,
∴∠ABC=30°(② ),(填推理的依据)
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【题目】在一次数学测验中,八年级(1)班的成绩如下表:
分数 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 |
人数 | 2 | 3 | 10 | 6 | 4 | 7 | 6 | 2 |
(1)本次数学测验成绩的平均数,中位数,众数各是多少?
(2)若老师把人数中的数据“10”看成了“9”,数据“7”看成了“8”,则平均数,中位数,众数中不受影响的是________.
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【题目】如图,以A(0, )为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O,与y轴相交于点B,弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E,且∠BEO=60°,AD的延长线交x轴于点C.
(1)分别求点E、C的坐标;
(2)求经过A、C两点,且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式;
(3)设抛物线的对称轴与AC的交点为M,试判断以M点为圆心,ME为半径的圆与⊙A的位置关系,并说明理由.
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【题目】已知一个矩形纸片ABCD,AB=12,BC=6,点E在BC边上,将△CDE沿DE折叠,点C落在C'处;DC',EC'分别交AB于F,G,若GE=GF,则sin∠CDE的值为______.
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【题目】一只不透明的袋子中装有分别标注数字为1,2、3的三个小球,这些球除标注的数字外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出一个球,标注的数字恰好为2的概率是________;
(2)搅匀后从中任意摸出一个球,记录下数字后放回袋中并搅匀,再从袋中任意摸出一个球,求两次数字的和大于3的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D,请在下图中作出点D;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若该圆与边AC相交于点E,连接DE,当∠BAC=100°时,求∠AED的度数.
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【题目】如图是某斜拉桥引申出的部分平面图,AE,CD是两条拉索,其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°,其底端与立柱AB底端的距离BD为4米,两条拉索顶端距离AC为2米,若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°,请计算拉索AE的长.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin35°≈,cos35°≈
,tan35°≈
,sin72°≈
,cos72°≈
,tan72°≈
)
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