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【题目】如图,等腰△ABC内接于半径为5的⊙O,AB=AC,BC=8.

(1)如图1,连结OA.

①求证:OABC;

②求腰AB的长

(2)如图2,点P是边BC上的动点(不与点B,C重合),∠APE=B=C,PEACE.

①求线段CE的最大值;

②当AP=PC时,求BP的长

【答案】(1)①证明见解析;②2;(2)CE的最大值为BP=.

【解析】

(1)①由AB=AC,得,故OABC;②连结OB,设OABCD.由垂径定理可得

BD=CD=BC=4.再利用勾股定理可得AB=.(2)先证ABP∽△PCE,得.设BP=x,CE=y,则PC=8-x,可得,可得y=,可求出函数的最值;②证APC∽△BAC,得,可得PC=,故BP=BC-PC.

解:(1)①∵AB=AC,

OABC

②连结OB,设OABCD.

OABC ,

BD=CD=BC=4.

OD==3,

AD=OA-OD=5-3=2,

AB=

(2)①∵∠APE=B=C,

∴∠BAP+APB=APB+CPE,

∴∠BAP=CPE,

∴△ABP∽△PCE,

BP=x,CE=y,则PC=8-x,

y=

∴当x=4时,ymax=,即CE的最大值为

②∵AP=PC,

∴∠PAC=C=B,

∴△APC∽△BAC,

PC=

BP=BC-PC=

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