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【题目】如图,已知抛物线的对称轴为直线,且抛物线与轴交于两点,与轴交于点,其中.

(1)若直线经过两点,求直线和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上找一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小,求出点的坐标;

(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点,求使为直角三角形的点的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为,直线的解析式为.(2);(3)的坐标为.

【解析】

1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到ab,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得ab的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出mn的值即可得到直线解析式;

(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3y的值,即可求出点M坐标;

(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.

1)依题意得:,解得:

∴抛物线的解析式为.

∵对称轴为,且抛物线经过

∴把分别代入直线

,解之得:

∴直线的解析式为.

2)直线与对称轴的交点为,则此时的值最小,把代入直线

.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.

(注:本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小,所以答案未证明的值最小的原因).

3)设,又

①若点为直角顶点,则,即:解得:

②若点为直角顶点,则,即:解得:

③若点为直角顶点,则,即:解得:

.

综上所述的坐标为.

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