Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0＜α＜90）得到△A1B1C，连结BB1.设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F，

（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C全等除外）；

（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）30°

【解析】

（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA1F．

（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．

(1)全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等；

以证△CBD≌△CA1F为例：

证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°

∴∠A1CF=∠BCD

∵A1C=BC

∴∠A1=∠CBD=45°

∴△CBD≌△CA1F；

(2)在△CBB1中

∵CB=CB1

∴∠CBB1=∠CB1B= (180°α)

又△ABC是等腰直角三角形

∴∠ABC=45°

若B1B=B1D,则∠B1DB=∠B1BD

∵∠B1DB=45°+α

∠B1BD=∠CBB145°= (180°α)45°=45°

∴45°+α=45°，

∴α=0°(舍去)；

∵∠BB1C=∠B1BC>∠B1BD,∴BD>B1D,即BD≠B1D；

若BB1=BD,则∠BDB1=∠BB1D,即45°+α= (180°α),α=30°

由①②③可知,当△BB1D为等腰三角形时,α=30°；