【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转α角(0<α<90)得到△A1B1C,连结BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB、AC于E、F,
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C全等除外);
(2)当△BB1D是等腰三角形时,求α.
【答案】(1)见解析(2)30°
【解析】
(1)依据全等三角形的判定,可找出全等的三角形有:△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等.由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD,A1C=BC,∠A1=∠CBD=45°,所以△CBD≌△CA1F.
(2)当△BBD是等腰三角形时,要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况,第一,三种情况不成立,只有第二种情况成立,求得α=30°.
(1)全等的三角形有:△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等;
以证△CBD≌△CA1F为例:
证明:∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°
∴∠A1CF=∠BCD
∵A1C=BC
∴∠A1=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA1F;
(2)在△CBB1中
∵CB=CB1
∴∠CBB1=∠CB1B= (180°α)
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
若B1B=B1D,则∠B1DB=∠B1BD
∵∠B1DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB145°= (180°α)45°=45°
∴45°+α=45°,
∴α=0°(舍去);
∵∠BB1C=∠B1BC>∠B1BD,∴BD>B1D,即BD≠B1D;
若BB1=BD,则∠BDB1=∠BB1D,即45°+α= (180°α),α=30°
由①②③可知,当△BB1D为等腰三角形时,α=30°;
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【题目】莲城超市以10元/件的价格调进一批商品,根据前期销售情况,每天销售量y(件)与该商品定价x(元)是一次函数关系,如图所示.
(1)求销售量y与定价x之间的函数关系式;
(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件,不考虑其它因素,求超市每天销售这种商品所获得的利润.
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【题目】问题提出
(1)如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示).
问题探究
(2)点A为线段BC外一动点,且BC=6,AB=3,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE,找出图中与BE相等的线段,请说明理由,并直接写出线段BE长的最大值.
问题解决:
(3)①如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
②如图4,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,BC=4,若对角线BD⊥CD于点D,请直接写出对角线AC的最大值.
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【题目】(1)图(1)是一个长为2m,宽为2n的矩形,把此矩形沿图中虚线用剪刀均分为四个小长方形,然后按图(2)的形状拼成一个大正方形.请问:这两个图形的什么量不变?
(2)把所得的大正方形面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m,n的代数式表示为(m-n)2或m2-2mn+n2 .
(3)由前面的探索可得出的结论是:在周长一定的矩形中,当 时,面积最大.
(4)若矩形的周长为24cm,则当边长为多少时,该图形的面积最大?最大面积是多少?
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2(k+1)x+k2+2=0有两个实根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若实数k能使x1﹣x2=2,求出k的值.
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【题目】图1,图2,图3是三张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,两点都在格点上,连结
,请完成下列作图:
(1)以为对角线在图1中作一个正方形,且正方形各顶点均在格点上.
(2)以为对角线在图2中作一个矩形,使得矩形面积为6,且矩形各顶点均在格点上.
(3)以为对角线在图3中作一个面积最小的平行四边形,且平行四边形各顶点均在格点上.
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【题目】如图,在ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=CF;
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
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【题目】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∠MDN的两边分别与AB,AC相交于M,N两点,且∠MDN+∠BAC=180°.
(1)求证AE=AF;
(2)若AD=6,DF=2,求四边形AMDN的面积.
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