【题目】小红和小明在操场做游戏,他们先在地上画了半径分别2m和3m的同心圆(如图),蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影小红胜,否则小明胜,未掷入圈内不算,你来当裁判.
(1)你认为游戏公平吗?为什么?
(2)游戏结束,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算某一不规则图形的面积呢”.请你设计方案,解决这一问题.(要求补充完整图形,说明设计步骤、原理,写出估算公式)
【答案】(1)不公平,理由详见解析;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)分别计算出阴影部分面积和非阴影部分面积,小红胜的概率=S阴影÷S总,小明胜的概率=S非阴影÷S总,则比较阴影部分和小圆面积即可知道是否公平;(2)用一正方形将不规则图形包围起来,根据用频率估计概率来设计.
解:(1)不公平,理由:
根据几何概率的求法:掷中阴影小红胜的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值;小明胜的概率为小圆面积与总面积的比值,
而计算可得大圆面积为9π,小圆面积为4π.则阴影部分面积为5π,
则阴影部分面积比小圆面积大.
则小红胜的概率大于小明胜的概率,
所以该游戏是不公平的,对小红有利;
(2)能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积.
设计方案:①设计一个面积为S的正方形将非规则图形围起来,如图:
②蒙上眼在一定距离外向正方形内掷小石子,掷在正方形外不作记录;
③掷的次数充分大,记录并统计结果,其中掷入正方形内m次,n次掷非规则图形内;
④设非规则图形的面积为S1,用频率估计概率,即频率P(掷入非规则图形内)=≈概率P(掷入非规则图形内)=,解得S1≈.
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【题目】影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式确定;雨天行驶时,这一公式为.
(1)如果行车速度是70 km/h,那么在雨天行驶和在晴天行驶相比,刹车距离相差多少米?
(2)如果行车速度分别是60 km/h与80 km/h,那么同在雨天行驶(相同的路面)相比,刹车距离相差多少?
(3)根据上述两点分析,你想对司机师傅说些什么?
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【题目】一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色不同外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,从中任意捧出1球是红球的概率为
(1)试求袋中绿球的个数;
(2)第1次从袋中任意摸出l球(不放回),第2次再任意摸出1球,请你用画树状图或列表格的方法,求两次都摸到红球的概率.
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【题目】(发现)任意三个连续偶数的平方和是4的倍数。
(验证)(1)的结果是4的几倍?
(2)设三个连续偶数的中间一个为,写出它们的平方和,并说明是4的倍数。
(延伸)(3)设三个连续奇数的中间一个数为,写出它们的平方和,它是12的倍数吗?若是,说明理由,若不是,写出被12除余数是多少?
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【题目】在平面直角坐标系中,作△OAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A(x,y)(-2≤x≤2,-2≤y≤2,x,y均为整数),则所作△OAB为直角三角形的概率是______.
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【题目】学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度.为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级,A级:对学习很感兴趣;B级:对学习较感兴趣;C级:对学习不感兴趣),并将调查结果绘制成图①和图②的统计图(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)将图①补充完整;
(3)求出图②中C级所占的圆心角的度数;
(4)根据抽样调查结果,请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标(达标包括A级和B级)?
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【题目】如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合),连接AP,过点B作BQ⊥AP交CD于点Q,将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′,延长QC′交BA的延长线于点M.
(1)试探究AP与BQ的数量关系,并证明你的结论;
(2)当AB=3,BP=2PC,求QM的长;
(3)当BP=m,PC=n时,求AM的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A点的坐标为(1,0).以OA为边在x轴上方画一个正方形OABC.以原点O为圆心,正方形的对角线OB长为半径画弧,与x轴正半轴交于点D.
(1)点D的坐标是 ;
(2)点P(x,y),其中x,y满足2x-y=-4.
①若点P在第三象限,且△OPD的面积为3,求点P的坐标;
②若点P在第二象限,判断点E(+1,0)是否在线段OD上,并说明理由.
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【题目】在学习了轴对称知识之后,数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究,请你跟随兴趣小组的同学,一起完成下列问题.
(1)(课本习题)如图①,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD. 求证:DB=DE
(2)(尝试变式)如图②,△ABC是等边三角形,D是AC边上任意一点,延长BC至E,使CE=AD.
求证:DB=DE.
(3)(拓展延伸)如图③,△ABC是等边三角形,D是AC延长线上任意一点,延长BC至E,使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论.
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