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【题目】在学习了轴对称知识之后,数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究,请你跟随兴趣小组的同学,一起完成下列问题.

(1)(课本习题)如图①,ABC是等边三角形,BD是中线,延长BCE,使CE=CD 求证:DB=DE

(2)(尝试变式)如图②,ABC是等边三角形,DAC边上任意一点,延长BCE,使CE=AD

求证:DB=DE

(3)(拓展延伸)如图③,ABC是等边三角形,DAC延长线上任意一点,延长BCE,使CE=AD请问DBDE是否相等? 并证明你的结论.

【答案】1)见详解;(2)见详解;(3DB=DE成立,证明见详解

【解析】

1)由等边三角形的性质,得到∠CBD=30°,∠ACB=60°,由CD=CE,则∠E=CDE=30°,得到∠E=CBD=30°,即可得到DB=DE

2)过点DDGAB,交BC于点G,证明△BDC≌△EDG,根据全等三角形的性质证明结论;

3)过点DDFABBEF,由“SAS”可证△BCD≌△EFD,可得DB=DE

证明:(1)∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=BCA=60°

∵点D为线段AC的中点,

BD平分∠ABCAD=CD

∴∠CBD=30°

CD=CE

∴∠CDE=CED

又∵∠CDE+CED=BCD

2CED=60°

∴∠CED=30°=CBD

DB=DE

2)过点DDGAB,交BC于点G,如图,

∴∠DGC=ABC=60°,又∠DCG=60°

∴△DGC为等边三角形,

DG=GC=CD

BC-GC=AC-CD,即AD=BG

AD=CE

BG=CE

BC=GE

BDCEDG中,

∴△BDC≌△EDGSAS

BD=DE

3DB=DE成立,

理由如下:过点DDFABBEF

∴∠CDF=A,∠CFD=ABC

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=BCA=A=60°BC=AC=AB

∴∠CDF=CFD=60°=ACB=DCF

∴△CDF为等边三角形

CD=DF=CF

AD=CE

AD-CD=CE-CF

BC=AC=EF

∵∠BCD=CFD+CDF=120°

DFE=FCD+FDC=120°

∴∠BCD=DFE,且BC=EFCD=DF

∴△BCD≌△EFDSAS

DB=DE

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