Question

【题目】如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝3．若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）

A.12B.9C.6D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题意，作点P关于OA、OB的对称点E、D，连接DE，与OA相交于点M，与OB相交于点N，则此时△PMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE，由∠AOB＝30°，得到∠DOE=60°，由垂直平分线的性质，得到OD=OE=OP=3，则△ODE是等边三角形，即可得到DE的长度．

解：如图：作点P关于OA、OB的对称点E、D，连接DE，与OA相交于点M，与OB相交于点N，则此时△PMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE，

由垂直平分线的性质，得DN=PN，MP=ME，OD=OE=OP=3，

∴△PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DN+MN+ME=DE，

由垂直平分线的性质，得∠DON=∠PON，∠POM=∠EOM，

∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=2（∠PON+∠POM）=2∠MON=60°，

∴△ODE是等边三角形，

∴DE=OD=OE=3，

∴△PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DE=3；

故选：D．