Question

【题目】小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图1）．其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧AD，弧BC和矩形ABCD组成，弧BC的圆心是倒锁按钮点M．已知弧AD的弓形高GH＝2cm，AD＝8cm，EP＝11cm．当锁柄PN绕着点N旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与弧BC所在的圆相切，且PQ∥DN，tan∠NQP＝2．

（1）弧BC所在圆的半径为_____cm．

（2）线段AB的长度约为_____cm．（≈2.236，结果精确到0.1cm）

Answer 1

【答案】5 29.8

【解析】

（1）如图，连接BM，设HM交BC于K，延长PQ交NM的延长线于点T，若直线PQ与弧BC所在的圆相切于J，连结MJ，在Rt△BMK中利用勾股定理进一步求解可；

（2）根据题意可进一步得出tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝，从而得出NP的长，最后再利用tan∠TMJ＝tan∠NPT进一步求解，通过GN+MN+MK求出AB的长即可.

如图，连接BM，设HM交BC于K，延长PQ交NM的延长线于点T，若直线PQ与弧BC所在的圆相切于J，连结MJ，

设BM＝r，在Rt△BMK中，则有r2＝42+（r﹣2）2，

解得r＝5，

∴BM＝5，即弧BC所在圆的半径为5cm．

（2）∵DN∥PB，

∴∠DNE＝∠P，

∵NP＝NQ，

∴∠P＝∠NQP，

∴∠DNE＝∠NQP，

∴tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝，

∵NE＝DG＝4，

∴DE＝NG＝8，

∴NP＝NE+EP＝4+11＝15，

∵直线PQ与弧BC所在的圆相切于J，

∴MJ⊥PQ，MJ＝5，

∴∠TMJ＝∠NPT，

∴tan∠TMJ＝tan∠NPT＝2，

∴，

∴NT＝15×2＝30，TJ＝5×2＝10，

∴MT=,

∴MN＝NT﹣MT＝30﹣5，

∴AB＝GN+MN+MK＝8+30﹣5+3＝41﹣5≈29.8cm

故答案为：（1）5，（2）29.8．