Question

【题目】已知：△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交AB于点E，交⊙O于点D，满足∠BEC＝3∠ACD．

（1）如图1，求证：AB＝AC；

（2）如图2，连接BD，点F为弧BD上一点，连接CF，弧CF＝弧BD，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求证：CF+DG＝CG；

（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH，OH，OH⊥DH，过点C作CP⊥AC，交⊙O于点P，OH：CP＝1： ，CF＝12，连接PF，求PF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α，利用等量代换得出∠ABC＝∠ACB，最后进一步证明结论即可；

（2）连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD，通过证明△ADB≌△AZC得出AD＝AZ，然后进一步证明即可；

（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T，利用三角函数以及勾股定理进一步求解即可.

（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α．

∵∠BEC＝∠BAC+∠ACD，

∴∠BAC＝2α，

∵CD是直径，

∴∠DAC＝90°，

∴∠D＝90°﹣α，

∴∠B＝∠D＝90°﹣α，

∵∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α．

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC；

（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD．

∵弧BD=弧CF，

∴DB＝CF，

∵∠DBA＝∠DCA，CZ＝BD，AB＝AC，

∴△ADB≌△AZC（SAS），

∴AD＝AZ，

∵AG⊥DZ，

∴DG＝GZ，

∴CG＝CZ+GZ＝BD+DG＝CF+DG．

（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．

∵CP⊥AC，

∴∠ACP＝90°，

∴PA是直径，

∵OR⊥PC，OK⊥AC，

∴PR＝RC，∠ORC＝∠OKC＝∠ACP＝90°，

∴四边形OKCR是矩形，

∴RC＝OK，

∵OH：PC＝1：，

∴设OH＝a，PC＝2a，

∴PR＝RC＝a，

∴RC＝OK＝a，sin∠OHK＝，

∴∠OHK＝45°，

∵OH⊥DH，

∴∠DHO＝90°，

∴∠DHA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

∵CD是直径，

∴∠DAC＝90°，

∴∠ADH＝90°﹣45°＝45°，

∴∠DHA＝∠ADH，

∴AD＝AH，

∵∠COP＝∠AOD，

∴AD＝PC，

∴AH＝AD＝PC＝2a，

∴AK＝AH+HK＝2a+a＝3a，

在Rt△AOK中，tan∠OAK＝，OA＝=，

∴sin∠OAK＝，

∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ACD+∠ADG＝90°，

∴∠DAG＝∠ACD，

∵AO＝CO，

∴∠OAK＝∠ACO，

∴∠DAG＝∠ACO＝∠OAK，

∴tan∠ACD＝tan∠DAG＝tan∠OAK＝，

∴AG＝3DG，CG＝3AG，

∴CG＝9DG，

由（2）可知，CG＝DG+CF，

∴DG+12＝9DG，

∴DG＝，AG＝3DG＝3×＝，

∴AD＝，

∴PC＝AD＝，

∵sin∠F＝sin∠OAK，

∴sin∠F＝，

∴CT＝＝×12＝，FT＝，PT＝，

∴PF＝FT﹣PT＝﹣＝．