Question

【题目】如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．

（1）求证：∠A+2∠C＝90°；

（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3+2π．

【解析】

（1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBA＝90°，则∠A+∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代换可得到结论；

（2）先计算出∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，作OH⊥BC于H，利用垂径定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°计算出OH＝，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD计算．

（1）证明：连接OB，如图，

∵O与边AB相切，且切点恰为点B．

∴OB⊥AB，

∴∠OBA＝90°，

∴∠A+∠AOB＝90°，

∵∠AOB＝2∠C，

∴∠A+2∠C＝90°；

（2）解：在Rt△AOB中，

∵∠A＝30°，

∴∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，

作OH⊥BC于H，

则BH＝CH，

∵∠C＝∠AOB＝30°，

∴OH＝OC＝，CH＝OH＝3，

∴BC＝2CH＝6，

∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD

＝×6×+

＝3+2π．