Question

1．如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF=4，求AB²+CD²的值．

Answer 1

分析 连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，根据三角形中位线定理得到EM=$\frac{1}{2}$AB，FM=$\frac{1}{2}$CD，∠NMF=90°，根据勾股定理计算即可．

解答 解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM∥AB，FM∥CD，EM=$\frac{1}{2}$AB，FM=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，
由勾股定理得，ME²+MF²=EF²=16，
∴AB²+CD²=（2ME）²+（2MF）²=64．

点评 本题考查的是三角形中位线定理和勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．