Question

12．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC=60°，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．
（1）求证：BD-DC＜AB-AC；
（2）若点E在AD上，且DE=DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的判定与性质得出△AGD≌△ACD（SAS），进而得出DG=DC，再利用三角形三边关系得出答案；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出△BGD≌△ECD，进而得出，∠BFC=180°-∠B-∠7=180°-∠6-∠7即可得出答案．

解答 （1）证明：在AB上截取AG，使AG=AC，连接GD．（如图）
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△AGD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}\\{∠1=∠2}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△ACD（SAS）．
∴DG=DC．
∵△BGD中，BD-DG＜BG，
∴BD-DC＜BG．
∵BG=AB-AG=AB-AC，
∴BD-DC＜AB-AC；

（2）解：∵由（1）知△AGD≌△ACD，
∴GD=CD，∠4=∠3=60°．
∴∠5=180°-∠3-∠4=180°-60°-60°=60°．
∴∠5=∠3．
在△BGD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DE}\\{∠5=∠3}\\{DG=DC}\end{array}\right.$，
∴△BGD≌△ECD（SAS）．
∴∠B=∠6．
∵△BFC中，∠BFC=180°-∠B-∠7=180°-∠6-∠7=∠3，
∴∠BFC=60°．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形三边关系，正确得出全等三角形是解题关键．