Question

6．如图，直线y=-$\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$与x，y轴分别交于点B、A两点，⊙P的圆心坐标为（1，1），且与x轴相切于点C，现将⊙P从如图所示的位置开始沿x轴向右滚动，当⊙P与直线AB相切时，圆心P运动的距离为3-$\sqrt{3}$或3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 对于直线解析式，分别令x与y为0求出相应y与x的值，确定出A与B坐标，求出OA与OB的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，确定出∠OAB的度数，分两种情况考虑：当圆P位于直线AB左边与直线AB相切时，如图1所示；当圆P位于直线AB右边与直线AB相切时，如图2所示，分别求出当圆P与直线AB相切时，圆心P运动的距离即可．

解答 解：对于直线y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，令x=0，得到y=4$\sqrt{3}$；令y=0，得到x=-4，
∴A（0，4$\sqrt{3}$），B（4，0），
在Rt△AOB中，OA=4$\sqrt{3}$，OB=4，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=8，
∴∠OAB=30°，∠ABO=60°，
分两种情况考虑：
当圆P位于直线AB左边与直线AB相切时，如图1所示，

连接BP′，可得∠P′BD=30°，P′D=1，
∴P′B=2，BD=$\sqrt{3}$，
则PP′=CD=OB-OC-DB=4-1-$\sqrt{3}$=3-$\sqrt{3}$，即圆心P运动的距离为3-$\sqrt{3}$；
当圆P位于直线AB右边与直线AB相切时，如图2所示，

连接BP′，可得∠P′BD=60°，P′D=1，∠BP′D=30°，
设BD=x，则有P′B=2x，
根据勾股定理得：x²+1=4x²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去），即BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PP′=CD=OB+BD-OC=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1=3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即圆心P运动的距离为3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：3-$\sqrt{3}$或3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标与图形性质，含30度直角三角形的性质，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．