Question

1．如图，点M、N分别是等边三角形ABC中AB，AC边上的点，点A关于MN的对称点落在BC边上的点D处．若$\frac{BD}{DC}$=$\frac{2}{3}$，则$\frac{AM}{AN}$的值$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 由BD：DC=2：3，可设BD=2a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=7a，DN+NC+DC=8a，再通过证明△BMD∽△CDN即可证明AM：AN的值．

解答 解：∵BD：DC=2：3，
∴设BD=2a，则CD=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
由MN是线段AD的垂直平分线，
∴AM=DM，AN=DN，
∴BM+MD+BD=7a，DN+NC+DC=8a，
∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，
∴∠NDC=∠BMD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△BMD∽△CDN，
∴$\frac{BM+MD+BD}{DN+NC+CD}=\frac{AM}{AN}$，
即$\frac{AM}{AN}=\frac{7}{8}$．
故答案为$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及线段的垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．