Question

14．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直与过点C的直线，垂足为D，AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，若⊙O的半径为3，BC=2$\sqrt{3}$，求$\frac{AD}{DC}$的值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，由AC平分∠BAD得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，则可根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=2$\sqrt{6}$，再证明Rt△ADC∽Rt△ACD，利用相似比得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，然后利用比例的性质求解．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．