Question

4．已知x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的两个实数根，且x₁+2x₂=3-$\sqrt{2}$．则x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值为1．

Answer 1

分析 根据x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的两个实数根，得出x₁+x₂=2，再根据x₁+2x₂=3-$\sqrt{2}$，求出x₂和x₁，根据x₁x₂=a，求出a，最后根据x₁³-3x₁²+2x₁+x₂=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂，代入计算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=2，
∵x₁+2x₂=3-$\sqrt{2}$，
∴x₂=1-$\sqrt{2}$，x₁=1+$\sqrt{2}$，
∴x₁x₂=a=-1，
∵x₁²-2x₁+a=0，
∴x₁²-2x₁=-a
∴x₁³-3x₁²+2x₁+x₂
=x₁³-2x₁²-x₁²+2x₁+x₂
=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂
=x₁•（-a）+a+x₂
=（x₁+x₂）-1
=2-1
=1．
故答案为：1

点评 此题考查一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．