Question

8．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，△ABC满足条件∠BAC=90°，矩形AFBD是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
（3）添加∠BAC=90°，根据直角三角形的性质：斜边中线等于斜边的一半可得AD=BD，进而可得矩形AFBD是正方形．

解答 解：（1）BD=CD，
理由：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}\\{∠AEF=∠DEC}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∴AF=BD，
∴DB=CD；

（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴?AFBD是矩形．

（3）△ABC满足∠BAC=90°，矩形AFBD是正方形；
∵BD=CD，∠BAC=90°，
∴AD=BD，
∴矩形AFBD是正方形．

点评 本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．