Question

【题目】已知△ABC是等边三角形，点D为平面内一点，连接DB、DC，∠BDC＝120°．

（1）如图①，当点D在BC下方时，连接AD，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．

①求证：△ABD≌△ACE；

②如图②，过点A作AF⊥DE于点F，直接写出线段AF、BD、DC间的数量关系；

（2）若AB＝2，DC＝6，直接写出点A到直线BD的距离．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②AF＝（CD+BD）；（2）4或

【解析】

（1）①由等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，由四边形的内角和定理可得∠ACE＝∠ABD，由“SAS”可证△ABD≌△ACE；

②由全等三角形的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，可证△ADE是等边三角形，可得AF＝DF＝AD，即可求解；

（2）分两种情况讨论，当点D在BC下方时，利用全等三角形的性质和勾股定理可求点A到直线BD的距离；当点D在BC上方时，过点C作CH⊥BD交BD延长线于H，过点D作DF⊥BC于F，过点A作AN⊥BD，交BD的延长线于N，利用面积法可求DF的长，由三角函数可求解．

证明：（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∵∠ABD+∠BDC+∠ACD+∠BAC＝360°，∠BDC＝120°，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

∵∠ACE+∠ACD＝180°，

∴∠ACE＝∠ABD，

又∵AB＝AC，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

②∵△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，

∴∠DAE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD＝ED，

∵AF⊥DE，AD＝AE，

∴DF＝DE＝AD，∠DAF＝30°，

∴AF＝DF＝AD，

∵DE＝CD+CE＝CD+BD，

∴AF＝AD＝（CD+BD）；

（2）如图②，若点D在BC下方时，

∵△ABD≌△ACE，

∴点A到直线BD的距离＝点A到直线CE的距离，

设DF＝x，则AF＝x，

∵AC2＝AF2+CF2，

∴52＝3x2+（6﹣x）2，

∴x1＝4，x2＝﹣1（舍去），

∴AF＝4，

如图3，若点D在BC上方时，过点C作CH⊥BD交BD延长线于H，过点D作DF⊥BC于F，过点A作AN⊥BD，交BD的延长线于N，

∵∠BDC＝120°，

∴∠CDH＝60°，

∵CH⊥BD，

∴∠DCH＝30°，CD＝6，

∴DH＝3，CH＝DH＝3，

∵BH＝＝＝5，

∴BD＝BH﹣DH＝2，

∵S△BDC＝BD×CH＝×BC×DF，

∴2×3＝2×DF，

∴DF＝，

∵∠BDC＝120°，

∴∠DBC+∠DCB＝60°，

又∵∠ABD+∠DBC＝60°，

∴∠ABD＝∠DCB，

∴sin∠ABD＝sin∠DCB＝，

∴，

∴AN＝，

综上所述：点A到直线BD的距离为4或．