Question

19．已知，四边形ABCD是正方形，点F是边AB、BC上一动点，DE⊥DF，且DE=DF，M为EF的中点．
（1）当点F在边AB上时，（如图①）．
①求证：点E在直线BC上；
②若BF=2，则MC的长为$\sqrt{2}$；
（2）当点F在BC上时，（如图②），求$\frac{BF}{CM}$的值．

Answer 1

分析 （1）①连接CE，证明△ADF≌△CDE，得到∠DCE=∠DAF=90°即可；
②作FK∥MC，证明CM=$\frac{1}{2}$FK，求出FK=$\sqrt{2}$BF即可；
（2）过点E作CD的平行线分别交AD、BC的延长线于K、Q，EN∥MC，根据平行线等分线段定理即可解答．

解答 解：（1）①如图①，连接CE，
∵∠ADC=90°，DE⊥DF，
∴∠ADF=∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADF=∠CDE}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴∠DCE=∠DAF=90°，
∴点E在直线BC上；
②如图①，作FK∥MC，∵M为EF的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$FK，
∵∠DMB=∠DCB=90°，
∴D、M、C、B四点共圆，
∴∠MCD=∠MBD=45°，
∴∠BKF=45°，
∵BF=2，∴FK=2$\sqrt{2}$，
∴CM=$\frac{1}{2}$FK=$\sqrt{2}$；
（2）过点E作CD的平行线分别交AD、BC的延长线于K、G，EN∥MC，
∵M为EF的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$NE，FC=CN，
∴NG=EG=BF，
$\frac{BF}{CM}$=$\frac{BF}{\frac{1}{2}NE}$=$\frac{BF}{\frac{1}{2}\sqrt{2}NG}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理，灵活运用性质和定理进行解答是解题的关键，注意辅助线的作法．