Question

4．在一列数x₁，x₂，x₃，…x_k中，已知x₁=1，且当k≥2时，x_k=x_k-1+1-4（[$\frac{k-1}{4}$]-[$\frac{k-2}{4}$]），（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，如[2.6]=2，[0.2]=0），则x₂₀₁₅等于3．

Answer 1

分析 首先求出x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，…，判断出x₁，x₂，x₃，…x_k中，按照1，2，3，4，1，2，3，4，…，每4个数一个循环；然后用2015除以4，根据商和余数的情况，判断出x₂₀₁₅是第几个循环的第几个数，进而判断出x₂₀₁₅等于多少即可．

解答 解：∵x₁=1，
∴x₂=x₁+1-4（[$\frac{2-1}{4}$]-[$\frac{2-2}{4}$]）=1+1-4×0=2，
∵x₂=2，
∴x₃=x₂+1-4（[$\frac{3-1}{4}$]-[$\frac{3-2}{4}$]）=2+1-4×0=3，
∵x₃=3，
∴x₄=x₃+1-4（[$\frac{4-1}{4}$]-[$\frac{4-2}{4}$]）=3+1-4×0=4，
∵x₄=4，
∴x₅=x₄+1-4（[$\frac{5-1}{4}$]-[$\frac{5-2}{4}$]）=4+1-4×1=1，
∵x₅=1，
∴x₆=x₅+1-4（[$\frac{6-1}{4}$]-[$\frac{6-2}{4}$]）=1+1-4×0=2，
…，
∴x₁，x₂，x₃，…x_k中，按照1，2，3，4，1，2，3，4，…，每4个数一个循环，
∵2015÷4=503…3，
∴x₂₀₁₅是第504个循环的第3个数，
∴x₂₀₁₅=3．
故答案为：3．

点评 此题主要考查了规律型：数字的变化类问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：x₁，x₂，x₃，…x_k中，按照1，2，3，4，1，2，3，4，…，每4个数一个循环．