Question

【题目】如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，将ABC绕点C逆时针旋转60°得到DGC，再将ABC沿ＡＢ所在直线翻折得到ABE，连接AD，BG，延长BG交AD于点F，连接CF．

（1）求证：四边形ABCF是矩形；

（2）若GF＝2，求四边形AECD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）24

【解析】

（1）由旋转的性质可得AC=CD，∠DCG=∠ACB=60°，CG=CB，可证△ACD是等边三角形，△CBG是等边三角形，可得∠DAC=∠CGB=∠AGF=60°，BG=BC=CG，由直角三角形的性质可得AG=CG=BC，由矩形的判定可得结论；
（2）先证四边形AECD是菱形，由菱形的面积公式可求解．

（1）∵△ABC绕点C旋转得到△DGC，

∴AC＝CD，∠DCG＝∠ACB＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠DAC＝60°

∵在Rt△DGC中，∠CDG＝30°，

∴DC＝2CG＝AC，

∴AG＝GC＝BC，

∴∠CGB＝∠AGF＝60°，

∴△CBG和△AGF都是等边三角形，

∴AG＝GC＝BG＝GF，

∴四边形ABCF是矩形；

（2）∵△ABC绕点C旋转得到△DGC，△ABC沿AB所在直线翻折得到△ABE，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，

∴DC＝AC＝AE，∠DCG＝∠ACB＝∠AEC＝60°，

∴∠AEC＋∠DCE＝180°，

∴DC∥AE，

∴四边形AECD为平行四边形．

又∵AC＝2CB，

∴AC＝CE＝AE，

∴四边形AECD为菱形

∵GF＝2，

∴AC＝CE＝4，CB＝2，

∴AB＝＝6，

∴S四边形AECD＝4×6＝24