Question

【题目】已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．

（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为　 　；

（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）见解析

【解析】

（1）在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等）；

（2）作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法一证明△ABE≌△CEB（SSS）．方法二证明FA＝FC即可解决问题．

（1）如图1，以A为圆心，AD长为半径作弧交BC于点E，作AF垂直DE交CD于点F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，

在Rt△ABE中，BE，

∴EC＝10﹣6＝4，

根据折叠的性质知：EF＝DF，

设EF＝DF＝x，则，

在Rt△EFC中，则有x2＝（8﹣x）2+42，

解得 ：x＝5，

∴EF＝5．

故答案为：5；

（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．

方法1：根据折叠的性质知：△ADC≌△AEC，

∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，

在△ABE与△CEB中，，

∴△ABE≌△CEB（SSS），

∴∠AEB＝∠CBE，

∴BF＝EF，

∴△BEF是等腰三角形．

方法2：根据折叠的性质知：△ADC≌△AEC，

∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，

又∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∴∠EAC＝∠ACB，

∴FA＝FC，

∴FE＝FB，

∴△BEF是等腰三角形．