Question

【题目】如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．

（1）求∠BAE的度数；

（2）连结BD，延长AE交BD于点F．

①求证：DF=EF；

②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．

Answer 1

【答案】(1) 75°;(2)①见解析②

【解析】

（1）根据题意利用等腰三角形性质以及等量代换求∠BAE的度数；

（2）①由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°，从而证明△BCF≌△ECF，求证DF=EF；

②题意要求等式表示线段AB，CF，EF的数量关系，利用等腰直角三角形以及等量代换进行分析.

（1）解：∵AB=BE，

∴∠BAE=∠BEA．

∵∠ABE=90°－60°=30°

∴∠BAE=75°．

（2）①证明：∴∠DAF=15°．连结CF．

由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°．

∵∠BCD=90°，∠BCE=60°，

∴∠DCF=∠ECF=∠DAF=15°．

∵BC=EC，CF=CF，

∴△DCF≌△ECF．

∴DF=EF．

②过C作CO垂直BD交于O，

由题意求得∠OCF=30°，设OF=x，CF=2x，OB=OC=OD=x，EF=DF=OD-OF=x-x则BC=AB=有即有．