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【题目】如图1,在△ABC中,ABAC,∠BAC120°,点DE分别在边ABAC上,ADAE,连接DC,点MPN分别为DEDCBC的中点.

1)观察猜想

1中,线段PMPN的数量关系是   ,∠MPN的度数是   

2)探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MNBDCE,判断△PMN的形状,并说明理由;

3)拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD4AB8,请直接写出△PMN面积的取值范围.

【答案】(1)PMPN60°;(2)详见解析;(3)SPMN≤9

【解析】

1)利用三角形的中位线得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线得出PMCE得出∠DPM=DCA,最后用互余即可得出结论;

2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出结论;

3)先判断出BD最大时,PMN的面积最大,BD最大是AB+AD=12,再判断出BD最小时,PMN最小,即可得出结论.

解:(1)∵点P,NBC,CD的中点,

PNBD,PNBD,

∵点P,MCD,DE的中点,

PMCE,PMCE,

ABAC,ADAE,

BDCE,

PMPN,

PNBD,

∴∠DPN=∠ADC,

PMCE,

∴∠DPM=∠DCA,

∵∠BAC120°,

∴∠ADC+ACD60°,

∴∠MPN=∠DPM+DPN=∠DCA+ADC60°,

故答案为:PMPN,60°

2)△PMN是等腰直角三角形.

由旋转知,∠BAD=∠CAE,

ABAC,ADAE,

∴△ABD≌△ACESAS),

∴∠ABD=∠ACE,BDCE,

利用三角形的中位线得,PNBD,PMCE,

PMPN,

∴△PMN是等腰三角形,

同(1)的方法得,PMCE,

∴∠DPM=∠DCE,

同(1)的方法得,PNBD,

∴∠PNC=∠DBC,

∵∠DPN=∠DCB+PNC=∠DCB+DBC,

∴∠MPN=∠DPM+DPN=∠DCE+DCB+DBC

=∠BCE+DBC=∠ACB+ACE+DBC

=∠ACB+ABD+DBC=∠ACB+ABC,

∵∠BAC120°,

∴∠ACB+ABC60°,

∴∠MPN60°,

∴△PMN是等边三角形;

3)由(2)知,△PMN是等边三角形,PMPNBD,

PM最大时,△PMN面积最大,PM最小时,△PMN面积最小

∴点DBA的延长线上,△PMN的面积最大,

BDAB+AD12,

PM6,

SPMN最大PM2×629,

当点D在线段AB上时,△PMN的面积最小,

BDABAD4,

PM2,

SPMN最小PM2×22,

SPMN≤9

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