Question

【题目】如图，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合.

（1）证明不论、在、上如何滑动，总有；

（2）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形和的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化.理由见解析.

【解析】

（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题．当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大．

证明：连接AC，如下图所示，

∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°,∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF；
(2)四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化
理由：由(1)得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
S四边形AECF=S△ABC=BCAH==.

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECFS△AEF，则此时△CEF的面积就会最大.

∴S△CEF=S四边形AECFS△AEF=×2×=.

答：最大值是.