[题目]图1.线段AB.CD相交于点O.连接AD.CB.我们把形如图1的图形称之为“8字形．如图2.在图1的条件下.∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P.并且与CD.AB分别相交于M.N．试解答下列问题:(1)在图1中.请直接写出∠A.∠B.∠C.∠D之间的数量关系: ,(2)仔细观察.在图2中“8字形的个数: 个,(3)图2中.当∠D＝50度.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　　；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个；

（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．

（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；

（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；

（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．

解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，

∴∠A+∠D＝∠C+∠B，

故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；

②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；

③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；

④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；

⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；

⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6个，

故答案为：6；

（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P＝∠D+∠B，

又∵∠D＝50度，∠B＝40度，

∴2∠P＝50°+40°，

∴∠P＝45°；

（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．

∠D+∠1＝∠P+∠3①

∠B+∠4＝∠P+∠2②

①+②得：

∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，

∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4

∴2∠P＝∠D+∠B．

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