【题目】△ABC是等边三角形,点E在AC边上,点D是BC边上的一个动点,以DE为边作等边△DEF,连接CF.
(1)如图1,当点D与点B重合时,求证:△ADE≌△CDF;
(2)如图2,当点D运动到如图2的位置时,猜想CE、CF、CD之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在BC延长线上时,直接写出CE、CF、CD之间的数量关系,不证明.
【答案】(1)证明见解析;(2)CE=CD+CF,证明见解析;(3)CF=CD+CE.
【解析】
(1)利用等边三角形的性质可得AB=BC,DE=DF,由∠ABC=∠EDF=60°,∠EBC为公共角,得∠ADE=∠CDF,根据SAS得证△ADE≌△CDF.
(2)CE=CF+CD,理由为:过D作DG∥AB,交AC于点G,连接CF,如图,由DG与AB平行,利用两直线平行同位角相等,确定出三角形GDC为等边三角形,再由三角形EDF为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两对边相等,再利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到三角形EGD与三角形FCD全等,利用全等三角形对应边相等得到EG=FC,由EC=EG+GC,等量代换即可得证;
(3)CF=CE+CD,过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,只要证明△EGD≌△FCD即可解决问题;
(1) ∵△ABC和△DEF是等边三角形,
∴AB=BC,DE=DF,
∠ABC=∠EDF=60° ,
∴∠ADE=∠CDF ,
∴△ADE≌△CDF ,
(2)CE=CD+CF ,理由为:
证明:过D作DG∥AB,交AC于点G,连接CF,
∵DG∥AB,
∴∠CGD=∠CDG=60°,△CDG为等边三角形,
∵△DEF为等边三角形,
∴∠EDF=∠GDC=60°,ED=FD,GD=CD,
∴∠EDF-∠GDF=∠GDC-∠GDF,即∠EDG=∠FDC,
在△EDG和△FDC中,
,
∴△EDG≌△FDC(SAS),
∴EG=FC,
则CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD;
(3) CF=CD+CE .
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【题目】如图,一个正比例函数y1=k1x的图象与一个一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(3,4),且一次函数y2的图像与y轴相交于点B(0,—5),与x轴交于点C.
(1)判断△AOB的形状并说明理由;
(2)请写出当y1>y2时x的取值范围;
(3)若将直线AB绕点A旋转,使△AOC的面积为8,求旋转后直线AB的函数解析式;
(4)在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
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【题目】某中学为了了解九年级学生的体能,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试的结果分为A、B、C、D四个等级,并根据测试成绩绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)这次抽样调查的样本容量是多少?B等级的有多少人?并补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,C等级对应扇形的圆心角为多少度?
(3)该校九年级学生有1500人,估计D等级的学生约有多少人?
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【题目】如图1的7张长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足( )
A. a=b B. a=2b
C. a=3b D. a=4b
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线l1:y=2x+1
(1)若将直线l1平移,使之经过点(1,-5),求平移后直线的解析式;
(2)若直线l2:y=x+m与直线l1的交点在第二象限,求m的取值范围;
(3)如图,直线y=x+b与直线y=nx+2n(n≠0)的交点的横坐标为-5,求关于x的不等式组0<nx+2n<x+b的解集.
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【题目】平面内有三点A(2,2),B(5,2),C(5,)
(1)请确定一个点D,使四边形ABCD为长方形,写出点D的坐.
(2)求这个四边形的面积(精确到0.01).
(3)将这个四边形向右平移2个单位,再向下平移个单位,求平移后四个顶点的坐标.
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【题目】某校在一次广播操比赛中,初二 (1)班、初二(2)班、初二(3)班的各项得分如下:
服装统一 | 动作整齐 | 动作准确 | |
初二(1)班 | |||
初二(2)班 | |||
初二(3)班 |
(1)填空:根据表中提供的信息,在服装统一方面,三个班得分的平均数是________;在动作整齐方面三个班得分的众数是________;在动作准确方面最有优势的是________班.
(2)如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面的重要性之比为,那么这三个班的排名顺序怎样?为什么?
(3)在(2)的条件下,你对三个班级中排名最靠后的班级有何建议?
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【题目】已知△ABC中,AB=AC,过边AB上一点N作AB的垂线交BC于点M.
(1)如图1,若∠A=40°,求∠NMB的度数.
(2)如图2,若∠A=70°,求∠NMB的度数.
(3)你可以再分别给出几个∠A(∠A为锐角)的度数,你发现规律了吗?写出当∠A为锐角时,你猜想出的规律,并进行证明.
(4)当∠A为直角、钝角时,是否还有(3)中的结论(直接写出答案).
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