Question

在△ABC中，AB=AC=5cm，P是BC边上一点，证明：无论底边BC的长度是多少，以及点P在BC上的位置如何，PA²+PB•PC的值总是常数．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：过A作AD⊥BC，垂足为D，利用勾股定理表示出AB、AP的长，再根据D是BC的中点，整理得到AB²-AP²=PB•PC，把AB=5cm代入求解即可．

解答：解：作AD⊥BC交BC于D，
AB²=BD²+AD²①
AP²=PD²+AD²②
①-②得：
AB²-AP²=BD²-PD²，
∴AB²-AP²=（BD+PD）（BD-PD），
∵AB=AC，
∴D是BC中点，
∴BD+PD=PB，BD-PD=PC，
∴AB²-AP²=PB•PC．
∴PA²+PB•PC=AB²=5²=25．
故PA²+PB•PC的值总是常数．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，使①-②得：AB²-AP²=BD²-PD²，是此题关键的一步．