Question

【题目】如图，在ABCD中，AB=1，BC=，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．

（1）证明：当旋转角为　 　时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°．

【解析】

（1）根据∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF，根据平行四边形性质得出AF∥BE，即可推出四边形ABEF是平行四边形；

（2）证△DFO≌△BEO，推出OF=OE，得出四边形BEDF是平行四边形，根据勾股定理求出AC，求出OA=AB=1，求出∠AOB=45°，根据∠AOF=45°，推出EF⊥BD，根据菱形的判定推出即可．

解：（1）结论：旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形．

理由：∵∠AOF=90°，∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠AOF，

∴AB∥EF，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥EB，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）当旋转角∠AOF=45°时，四边形BEDF是菱形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，BO=DO，

∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，

在△DFO和△BEO中

∵，

∴△DFO≌△BEO（AAS），

∴OF=OE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵AB=1，BC=，

∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=2，

∴AO=1=AB，∵∠BAO=90°，

∴∠AOB=45°，

又∵∠AOF=45°，

∴∠BOF=90°，

∴BD⊥EF，

∴四边形BEDF是菱形，

即在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°．