Question

【题目】已知抛物线:的项点为，交轴于、两点(点在点左侧)，且．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)过点的直线交抛物线于点,交轴于点,若的面积被轴分为1: 4两个部分，求直线的解析式；

(3)在(2)的情况下，将抛物线绕点逆时针旋转180°得到抛物线,点为抛物线上一点，当点的横坐标为何值时，为直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3）点横坐标为或或或时，为．

【解析】

（1）求抛物线l1的顶点P（0，-2）得OP=2，由求得BP的长，进而求得OB即点B坐标，代入抛物线l1的解析式即求得a的值．

（2）求点A坐标为（-4，0），设直线AC解析式为y=kx+b，把点A代入得b=4k，所以能用k表示点D坐标，进而用k表示△AOD和△BOD的面积．把直线AC解析式与抛物线l1解析式联立方程，即y相等时得到一个关于x的一元二次方程，解即为点A、C横坐标，利用根与系数的关系求出点C横坐标（用k表示），进而可用k表示C的纵坐标，再得到用k表示的△ABC面积．当k＞0时，显然S△AOD：S四边形OBCD=1：4，即S△AOD=S△ABC，故得到关于k的方程，求解即得k的值．当k＜0，则得到的方程与k＞0时相同，求得的k不满足题意．综合即求得直线AC的解析式．

（3）由于不确定点B、D、M哪个为直角顶点，故需分三种情况讨论．设点M横坐标为m，①若∠BDM=90°，过M作MN⊥y轴于点N，可证△BDO∽△DMN，用m表示MN、DN的长，代入相似三角形对应边成比例即列得方程求m的值．②若∠DBM=90°，过点M作MQ⊥x轴于点Q，可证△BMQ∽△DBO，用m表示BQ、MQ的长，代入相似三角形对应边成比例即列得方程求m的值．③若∠BMD=90°，则点M在以BD为直径的圆除点B、D外的圆周上，但显然以AB为直径的圆与抛物线l2无交点，故此情况不存在满足的m．

（1）当时，

∴顶点，

∵，

∴

∴

∴

∴，代入抛物线得：

，解得，

∴抛物线的函数解析式为

（2）∵知抛物线交轴于、两点

∴、关于轴对称，即

∴

设直线解析式：点代入得：

∴

∴直线：，

∴

∵，整理得：

∴

∵

∴，

∴

∴

①若，则

∴

∴

解得：（舍去），

∴直线的解析式为

②若，则，

∴解得：（舍去），（舍去）

综上所述，直线的解析式为.

（3）由（2）得：，

∵抛物线绕点逆时针旋转得到抛物线

∴抛物线解析式为：

设点坐标为

①若，如图1，则 过作轴于点

∴，，

∴

∴

∴

∴，即

∴

解得：，

②若，如图2，过点作轴于点

∴，，

∴

∴

∴

∴，即

∴解得：，

③若，则点在以为直径的圆除点、外的圆周上

显然以为真径的圆与抛物线无交点，故此情况不存在满足的

综上所述，点横坐标为或或或时，为.