Question

【题目】如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三点．

（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；

（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；

（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+1，顶点D的坐标（﹣，）；（2）tan∠ABC＝；（3）点E的坐标为（﹣，3）或（﹣，2）或（﹣，）

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）代入，求a、b、c的值，可得结果；

（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM和BM的长，即可求解；

（3）分三种情况讨论，由梯形的性质可求解．

解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．

由题意可得：

解得：

∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+1，

∵y＝x2+x+1＝，

∴顶点D的坐标（﹣，）；

（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，

∴BF＝3，

∵A（0，1），C（﹣1，1），

∴AC∥x轴，

∴CD⊥BF，

∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，

∴BC＝2，∠BCD＝∠CBD＝45°，

∵AM⊥BC，

∴∠MAC＝∠MCA＝45°，

∴CM＝AM，

∴CM＝AM＝，

∴BM＝BC﹣CM＝，

∴tan∠ABC＝＝；

（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），

∴直线AC解析式为：y＝1，

直线AB解析式为：y＝2x+1，

直线BC解析式为：y＝x+2，

若BE∥AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，

∴点E（﹣，3）；

若CE∥AB，则CE的解析式为；y＝2x+3，

∵点E在对称轴上，

∴x＝﹣，

∴y＝2，

即点E（﹣，2）；

若AE∥BC，则AE解析式为：y＝x+1，

∵点E在对称轴上，

∴x＝﹣，

∴y＝，

即点E（﹣，），

综上所述：点E的坐标为（﹣，3）或（﹣，2）或（﹣，）．