Question

【题目】如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；

（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）点P（2，﹣）；（3）或．

【解析】

（1）将点B坐标代入并解得：，故抛物线的表达式为：，将点B坐标代入上式，即可求解；

（2）因为S四边形ACPB=S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB= ，即可求解；

（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M，利用角平分线的性质求出的坐标，进而求直线的解析式，联立解析式解方程组即可得到一个答案，利用角的对称性求出在下方时关于的对称点，求出直线的解析式，即可联立解析式求解．

解：（1）将点B坐标代入并解得：c＝﹣3，

故抛物线的表达式为：，

将点B坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；

（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，

设点，则点，

S四边形ACPB＝S△ABC+S△PCB，

∵S△ABC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，

S△PCB＝×OB×PH＝，

∵＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；

（3） 过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M，

因为：，所以：，

由角平分线的性质得： 所以：，

解得：，所以：，

设为：，所以：

，解得： ，

所以为：，

所以： ，

解得： ，

所以：此时M

过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，使，

则，BC是GH的中垂线， OB=4，OC=3，则BC=5，

在Rt△GCK中，，，

则cos∠CGK=，sin∠CGK=，

则点，

因为点K是点GH的中点，

则点，

则直线BH的表达式为：，

所以：，

解得：，

所以：．

综上：或．