Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）

【解析】

（1）根据抛物线经过点，与轴相交于，两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；

（2）先确定二次函数对称轴，BC长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC，再根据角平分线求出∠DBC，解直角三角形可以求得点和点的坐标，本题得以解决．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，

∴，得，

即抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，

∴BC=3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x==1，

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，

则点H的坐标为（1，0），

∴BH=2，

∵将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，点C′恰好落在抛物线的对称轴上，

∴BC=BC′=4，∠C′HB=90°，∠C′BD=∠DBC，

∴OC′==2，cos∠C′BH===，

∴C′的坐标为（1，2），∠C′BH=60°，

∴∠DBC=30°，

∵BH=2，∠DBH=30°，

∴OD=BHtan30°=2×=，

∴点D的坐标为（1，），

由上可得，点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）．