Question

【题目】如图1，AB⊥BC，分别过点A，C作BM的垂线，垂足分别为M，N．

（1）求证：BMBC＝ABCN；

（2）若AB＝BC．

①如图2，若BM＝MN，过点A作AD∥BC交CM的延长线于点D，求DN：CN的值；

②如图3，若BM＞MN，延长BN至点E，使BM＝ME，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若E是CF的中点，且CN＝1，直接写出线段AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①DN：CN＝；②AF＝2﹣2

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．

（2）如图2中，连接AN，延长AN交BC的延长线于H，作BK⊥AN于K．，设CN＝m，则BM＝CN＝MN＝m，BN＝AM＝2m，想办法用m表示AN，NH即可解决问题．

（3）如图3中，连接AE，延长AE交BC的延长线于H．△AFE≌△HCE（ASA），推出AE＝EH，AF＝CH，利用直角三角形斜边中线的性质求出AE，EH，再利用勾股定理求出BH即可解决问题．

解：（1）证明：如图1中，

∵AM⊥BN，CN⊥BN，AB⊥BC，

∴∠AMB＝∠N＝∠ABC＝90°，

∴∠A+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBN＝90°，

∴∠A+∠CBN＝90°，

∴△ABM∽△BCN，

∴，

∴BMBC＝ABCN．

（2）解：①如图2中，连接AN，延长AN交BC的延长线于H，作BK⊥AN于K．

由（1）可知：△ABM∽△BCN，

∴

∵AB＝BC，

∴AM＝BN，BM＝CN，设CN＝m，

∵BM＝MN，

∴BM＝CN＝MN＝m，BN＝AM＝2m，

∵AM⊥BN，BM＝MN，

∴，

∵．

∴，

∴，

∵∠BAK＝∠BAH，∠ABH＝∠AKB＝90°，

∴△ABK∽△AHB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵AD∥CH，

∴．

②如图3中，连接AE，延长AE交BC的延长线于H．

∵AF∥CH，

∴∠F＝∠ECH，

∵∠AEF＝∠CEH，EF＝CF，

∴△AFE≌△HCE（ASA），

∴AE＝EH，AF＝CH，

∵AM⊥BE，BM＝ME，

∴AB＝AE，

∵∠ABH＝90°，

∴BE＝AE＝EH，

∵CN＝BM＝ME＝1，

∴BE＝AE＝EH＝2，

∴AB＝BC＝AE＝2，

∴，

∴，

∴AF＝2﹣2．

故答案是：（1）见解析；（2）①DN：CN＝；②AF＝2﹣2