Question

如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，半径长为5，点D、E分别是边AB和边AC是中点，AB=AC，BC=6．求∠OED的正切值．

Answer 1

考点：垂径定理,三角形中位线定理,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：连接AO并延长交BC于点H，连接OC，先根据AB=AC得出

AB

=

AC

，根据垂径定理得出OH及AH的长，由锐角三角函数的定义得出tan∠HAC=tan∠OAE=

1

3

，再根据D、E分别是边AB和边AC的中点，得出DE∥BC，根据直角三角形的性质得出∠OAE+∠AED=90°，∠AED+∠OED=90°，故可得出∠OAE=∠OED，进而得出结论．

解答：解：连接AO并延长交BC于点H，连接OC，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∵O为圆心，
∴AH⊥BC，BH=HC，
∴HC=3，
∵半径OC=5，
∴OH=4，AH=9，
∴在Rt△AHC中，tan∠HAC=

HC

AH

=

3

9

=

1

3

，即tan∠OAE=

1

3

，
∵D、E分别是边AB和边AC的中点，
∴DE∥BC，
∴AH⊥DE，
∴∠OAE+∠AED=90°，
∵E是边AC的中点，O为圆心，
∴OE⊥AC，
∴∠AED+∠OED=90°，
∴∠OAE=∠OED，
∴tan∠OED=tan∠OAE=

1

3

．
∴∠OED的正切值为：

1

3

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．