Question

如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在点O处，OE，OF分别交AB，BC于点M，N．
（1）求证：OM=ON；
（2）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM，BN与AB之间的数量关系，并进行证明．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）取BC的中点G，连接OG，证明△OBM≌△OGN，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）同（1）的方法取BC中点G，同理可证：△OBM≌△OGN即可得到．

解答：（1）证明：取BC的中点G，连接OG
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°，AB=BC=CD=DA，
∵点O为菱形ABCD的对称中心，
∴OD=OB
∴OG∥CD    
∴∠BGO=∠C=60°，OG=OB
∵△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，
∴∠BOM=∠NOG
又∵∠BGO=∠ABD=60°
在△OBM和△OGN中，

∠BOM=∠NOG OD=OB ∠BGO=∠ABD

，
∴△OBM≌△OGN（ASA），
∴OM=ON；

（2）证明：取BC中点G，
同理可证：△OBM≌△OGN，
∴BM=GN，
∴BG=BN-NG，
∴BN-BM=BG=

1

2

AB．

点评：本题考查了全等三角形的全等的判定与性质，证明线段相等的问题常用的方法是转化为证三角形全等，正确作出辅助线是关键．