Question

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是抛物线上位于第一象限的点,直线AP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为t

(1)求点A的坐标和抛物线的表达式;

(2)当AE:EP=1:2时,求点E的坐标;

(3)记抛物线的顶点为M,与y轴的交点为C,当四边形CDEM是等腰梯形时,求t的值。

Answer 1

【答案】(1) y=x-2x-3；(2) E(1，4)；(3)4

【解析】

(1)依据抛物线的对称性可得到A、B的坐标,利用抛物线的交点式可得到抛物线的解析式

(2)过点P作PF∥y轴,交x轴与点F,则△AEG∽△APF,从而可得到AF=6,然后可求得PF的长,从而可得到EG的长,故此可得到点E的坐标;

(3)先证明∠ADO=∠CME,然后,再求得点C和点M的坐标,从而可得到tan∠ADO=1,于是可得到OD=AO=1,故此可得到AP的解析式,最后求得直线AP与抛物线的交点坐标即可

(1)∵AB=4,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1

∴点A到对称轴的距离为2,

∴A(-1,0),B(3,0),

∴y=(x+1)(x-3)整理得:y=x-2x-3

(2)如下图所示:过点P作PF⊥z轴,垂足为F

∵EG∥PF,AE:EP=1:2

∴

又∵AG=2,

∴AF=6

∴F(5,0)

当x=5时,y=12

∴EG=4,

∴E(1，4)

(3)∵CD∥EM

∴∠ADO=∠AEM.

又∵四边形CDEM是等腰梯形,

∴∠ADO=∠CME

∴y=x-2x-3

∴C(0,-3),M(1,-4)

∴tan∠DAO=tan∠CME=1.

∴OA=OD=1.

∴直线AP的解析式为y=x+1.

把y=x+1代入y=x-2x-3得

x+1= x-2x-3

解得:x=4或x=-1(舍去)

∴点P的横坐标为4,即t=4.