Question

2．阅读下列材料：
∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…$\frac{1}{17×19}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）．
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{17×19}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{19}$）=$\frac{9}{19}$．
解答下列问题：
（1）在和式$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…中，第6项为$\frac{1}{11×13}$，第n项是$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
（2）受此启发，请你解下面的方程：
$\frac{1}{x（x+3）}$+$\frac{1}{（x+3）（x+6）}$+$\frac{1}{（x+6）（x+9）}$=$\frac{3}{2x+18}$．

Answer 1

分析 （1）观察已知等式，找出第6项及第n项即可；
（2）原式利用拆项法变形，计算就可求出解．

解答 解：（1）在和式$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…中，第6项为$\frac{1}{11×13}$，第n项是$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；
故答案为：$\frac{1}{11×13}$，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；
（2）方程整理得：$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+3}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{1}{x+6}$+$\frac{1}{x+6}$-$\frac{1}{x+9}$）=$\frac{3}{2x+18}$，即$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+9}$）=$\frac{3}{2x+18}$，
化简得：$\frac{9}{x（x+9）}$=$\frac{9}{2（x+9）}$，即$\frac{1}{x（x+9）}$=$\frac{1}{2（x+9）}$，
去分母得：2x+18=x²+9x，即x²+7x-18=0，
分解因式得：（x-2）（x+9）=0，
解得：x=2或x=-9，
经检验x=-9是增根，分式方程的解为x=2．

点评 此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．