[题目]如图1.△ABC中.∠ABC＝90°.AB＝1.BC＝2.将线段BC绕点C顺时旋转90°得到线段CD.连接AD.(1)说明△ACD的形状.并求出△ACD的面积;(2)把等腰直角三角板按如图2的方式摆放.顶点E在CB边上.顶点F在DC的延长线上.直角顶点与点C重合.从A.B两题中任选一题作答:A .如图3.连接DE.BF,①猜想并证明DE与BF之间的关系,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，将线段BC绕点C顺时旋转90°得到线段CD，连接AD.

(1)说明△ACD的形状，并求出△ACD的面积;

(2)把等腰直角三角板按如图2的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在DC的延长线上，直角顶点与点C重合.从A，B两题中任选一题作答：

A .如图3，连接DE，BF,

①猜想并证明DE与BF之间的关系；②将三角板绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，直接写出DE与BF之间的关系.

B .将图2中的三角板绕点C逆时针旋转α(0＜α＜360°)，如图4所示，连接BE，DF，连接点C与BE的中点M,

①猜想并证明CM与DF之间的关系；②当CE＝1，CM＝时，请直接写出α的值.

【答案】（1）△ACD是等腰三角形，；（2）A①DE=BF，DE⊥BF，见解析；②DE=BF，DE⊥BF.

【解析】

（1）过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC=∠AED=90°.可证四边形ABCE是矩形，从而AE=BC=2，AB=CE=1，可得AE垂直平分CD，从而△ACD是等腰三角形；再根据三角形的面积公式计算即可；

（2）A.①根据“SAS”可证△BCF≌△DCE，从而DE=BF，∠CBF=∠CDE，延长DE交BF于点H，由∠DEC+∠CDE=90°，可证∠BEH+∠CBF=90°，所以∠BHE=90°，即DE⊥BF；

②证明方法同①；

B. ①延长MC交DF于点N，延长CM至点G，使CM=MG，连接EG，根据“SAS”证明△MEG≌△MBC，从而BC=GE， BC∥GE，然后再证明△ECG≌△CFD，可得CG=DF，∠ECG=∠CFD，进而可证明结论成立；

②作FH⊥DC，交DC的延长线与点H，设FH=x，CH=y.由勾股定理列方程组求出x与y的值，根据含30°角的直角三角形的性质可知∠FCH =30°，进而可求α=60°或300°.

△ACD是等腰三角形，理由如下：

过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC=∠AED=90°.

又∵∠ABC＝90°，∠BCE=90°，

∴四边形ABCE是矩形，∴AE=BC=2，AB=CE=1，∴CD=1，

∴AE垂直平分CD，∴AC=AD，

∴△ACD是等腰三角形，

；

(2)A:

①DE=BF，DE⊥BF.理由如下：

由旋转可知，BC=CD=2,∠BCD=90°，

∵等腰直角△CEF顶点E在CB边上，顶点F在DC的延长线上，

∴CE=CF，∠BCF=∠DCE=90°.

在△BCF和△DCE中，BC=DC，∠BCF=∠DCE，CF=CE，

∴△BCF≌△DCE(SAS)，∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，

延长DE交BF于点H，

∵∠DEC+∠CDE=90°，∠DEC=∠BEH，∴∠BEH+∠CBF=90°，

∴∠BHE=90°，∴DE⊥BF；

②DE=BF，DE⊥BF.证明方法同①；

B:①CM=DF，CM⊥DF.理由如下：

延长MC交DF于点N，延长CM至点G，使CM=MG，连接EG，

∵M是BE的中点，∴ME=MB.

在△MEG和△MBC中，ME=MB，∠EMG=∠BMC，MG=MC，

∴△MEG≌△MBC(SAS)，∴CM=MG=CG，BC=GE， BC∥GE，

∵BC=CD，∴EG=CD.

由旋转得∠BCE=α，

∵BC∥GE，∴∠CEG=180°-α，

∵∠DCF=360°-∠ECF-∠BCE-∠BCD=180°-α，

∴∠CEG=∠DCF，

在△ECG和△CFD中，CE=CF，∠CEG=∠DCF，∠CEG=∠DCF，

∴△ECG≌△CFD(SAS)，∴CG=DF，∠ECG=∠CFD，

∵MG=MC，∴MC=DF ，

∵∠ECF=90°，∴∠ECG+∠FCN=∠FCD+∠FCN=90°，

∴∠CNF=90°，∴DE⊥BF；

②作FH⊥DC，交DC的延长线与点H，设FH=x，CH=y.

∵CM=，∴DF=CG=，

∴，解之得.

∴FH=CF,

∴∠FCH =30°，∴∠FCD=120°，∴∠BCE=60°，

∴α=60°或300°.

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