【题目】如图△ABC和△DEC都是等腰三角形,点C为它们的公共直角顶点,连AD、BE,F为线段AD的中点,连CF.
(1)如图1,当D点在BC上时,BE与CF的数量关系是 .
(2)如图2,把△DEC绕C点顺时针旋转90°,其他条件不变,问(1)中的关系是否仍然成立?请说明理由.
(3)如图3,把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角,其他条件不变,问(1)中的关系是否仍然成立?如成立请证明,如果不成立,请写出相应的正确的结论并加以证明.
【答案】(1)BE=2CF;(2)(1)中的关系是仍然成立,理由见解析;(3)(1)中的关系是仍然成立,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)根据“SAS”证明△ACD≌△BCE,可得AD=BE,又因为AD=2CF,从而BE=2CF;
(2)由点F是AD中点,可得AD=2DF,从而AC= 2DF+CD,又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形,可知BC=2DF+CE,所以BE= 2(DF+CE),CF= DF+CD,从而BE=2CF;
(3)延长CF至G使FG=CF,即:CG=2CF,可证△CDF≌△GAF,再证明△BCE≌△ACG,从而BE=CG=2CF成立.
解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=CE,
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,在Rt△ACD中,点F是AD中点,
∴AD=2CF,
∴BE=2CF,
故答案为BE=2CF;
(2)(1)中的关系是仍然成立,
理由:∵点F是AD中点,
∴AD=2DF,
∴AC=AD+CD=2DF+CD,
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∴BC=2DF+CE,
∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2(DF+CE),
∵CF=DF+CD=DF+CD,
∴BE=2CF;
(3)(1)中的关系是仍然成立,理由:如图3,
延长CF至G使FG=CF,即:CG=2CF,
∵点F是AD中点,
∴AF=DF,
在△CDF和△GAF中,,
∴△CDF≌△GAF,
∴AG=CD=CE,∠CDF=∠GAF,
∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD,
∴∠CAG=∠BCE,
连接BE,
在△BCE和△ACG中,,
∴△BCE≌△ACG,
∴BE=CG=2CF,
即:BE=2CF.
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【题目】如图,已知点A、B、C是数轴上三点,O为原点.点C对应的数为6,BC=4,AB=12.
(1)求点A、B对应的数;
(2)动点P、Q分别同时从A、C出发,分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动.M为AP的中点,N在CQ上,且CN=CQ,设运动时间为t(t>0).
①求点M、N对应的数(用含t的式子表示); ②t为何值时,OM=2BN.
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【题目】对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=(其中a、b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:T(0,1)==b.
(1)已知T(1,﹣1)=﹣2,T(4,2)=1.
①求a,b的值;
②若关于m的不等式组 恰好有3个整数解,求实数p的取值范围;
(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意义),则a,b应满足怎样的关系式?
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【题目】如图①,将笔记本活页一角折过去,使角的顶点A落在A′处,BC为折痕;
(1)图①中,若∠1=30°,则∠A′BD=_____;
(2)如果在图②中改变∠1的大小,则BA的位置也随之改变,又将活页的另一角斜折过去,使BD边与BA′重合,折痕为BE.那么∠CBE的度数是否会发生变化呢?请说明理由.
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【题目】为弘扬中华传统文化,黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”,比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式为两人对抗赛,即把四种比赛项目写在4张完全相同的卡片上,比赛时,比赛的两人从中随机抽取1张卡片作为自己的比赛项目(不放回,且每人只能抽取一次)比赛时,小红和小明分到一组.(1)小明先抽取,那么小明抽到唐诗的概率是多少?
(2)小红擅长唐诗,小红想:“小明先抽取,我后抽取”抽到唐诗的概率是不同的,且小明抽到唐诗的概率更大,若小红后抽取,小红抽中唐诗的概率是多少?小红的想法对吗?
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【题目】如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E的坐标;
(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,P、Q是方格纸中的两格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.(顶点都在格点上的四边形称为格点四边形)
(1)在图①中画出一个面积最小的中心对称图形PAQB,
(2)在图②中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形但不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.
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【题目】如图1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2,将线段BC绕点C顺时旋转90°得到线段CD,连接AD.
(1)说明△ACD的形状,并求出△ACD的面积;
(2)把等腰直角三角板按如图2的方式摆放,顶点E在CB边上,顶点F在DC的延长线上,直角顶点与点C重合.从A,B两题中任选一题作答:
A .如图3,连接DE,BF,
①猜想并证明DE与BF之间的关系;②将三角板绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°),直接写出DE与BF之间的关系.
B .将图2中的三角板绕点C逆时针旋转α(0<α<360°),如图4所示,连接BE,DF,连接点C与BE的中点M,
①猜想并证明CM与DF之间的关系;②当CE=1,CM=时,请直接写出α的值.
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