Question

如图，在Rt△ABC中，AC=6，AB=3

3

，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：作FG⊥AD交AC于点G，交AD于点Q，作BH⊥AC，易证∠BAD=∠CAD，即可证明△AQG≌△AQF，可得AF=AG，即可证明△AEF≌△AEG，可得EG=EF，即可求得BE+EF=BG，根据BG最短为BH即可解题．

解答：解：作FG⊥AD交AC于点G，交AD于点Q，作BH⊥AC，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AQG和△AQF中，

∠BAD=∠CAD AQ=AQ ∠AQF=∠AQG=90°

，
∴△AQG≌△AQF（ASA），
∴AF=AG，
在△AEF和△AEG中，

AF=AG ∠BAD=∠CAD AE=AE

，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EG=EF，
∴BE+EF=BE+EG=BG，
∵BG最短为BH，
∴BE+EF最短为BH，
∵AB=3

3

，∠BAC=30°，
∴BH=

1

2

AB=

3 3

2

，
故答案为

3 3

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△AQG≌△AQF和△AEF≌△AEG是解题的关键．