Question

【题目】如图①，四边形是矩形，，点是线段上一动点 (不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点．设，已知与之间的函数关系如图②所示．

(1)求图②中与的函数表达式；

(2)求证：；

(3)是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+4（0＜x＜2）；（2）证明见解析；（3）存在，x=或或．

【解析】

（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；

（2）先证明，又∠C=∠DAF=90°，利用两组对应边成比例，及夹角相等，即可证明△CDE∽△ADF；

（3）根据题意，使得是等腰三角形，可分三种情况：①若DE=DG，则∠DGE=∠DEG；②若DE=EG，如图，作EH∥CD，交AD于H；③若DG=EG，则∠GDE=∠GED；分别列方程计算可得结论．

解：（1）设y=kx+b，

由图象得：当x=1时，y=2，当x=0时，y=4，

代入得：，

∴，

∴y=-2x+4（0＜x＜2）；

（2）∵BE=x，BC=2

∴CE=2-x，AF=-2x+4，

∴，，

∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠DAF=90°，

∴△CDE∽△ADF；

（3）根据题意，假设存在x的值，使得是等腰三角形，可分三种情况：

①若DE=DG，则∠DGE=∠DEG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DGE=∠GEB，

∴∠DEG=∠BEG，

在△DEF和△BEF中，

，

∴△DEF≌△BEF（AAS），

∴DE=BE=x，CE=2-x，

∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2-x）2=x2，

∴；

②若DE=EG，如图，作EH∥CD，交AD于H，

∵AD∥BC，EH∥CD，

∴四边形CDHE是平行四边形，

∴∠C=90°，

∴四边形CDHE是矩形，

∴EH=CD=1，DH=CE=2-x，EH⊥DG，

∴HG=DH=2-x，

∴AG=2x-2，

∵EH∥CD，DC∥AB，

∴EH∥AF，

∴△EHG∽△FAG，

∴，

∴，

解得：，（舍去）；

③若DG=EG，则∠GDE=∠GED，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDG+∠GDE=∠DFG+∠DEG=90°，

∴∠FDG=∠DFG，

∴FG=DG，

∴FG=EG，

∵AD∥BC，

∴∠FGA=∠FEB，∠FAG=∠B，

∴△FAG∽△FBE，

∴，

∴，

∴；

综合上述，x的值为、或.