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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(5,0),点B的坐标为(8,4),点C的坐标为(3,4),连接AB、BC、OC

(1)求证四边形OABC是菱形;

(2)直线l过点C且与y轴平行,将直线l沿x轴正方向平移,平移后的直线交x轴于点P.

①当OP:PA=3:2时,求点P的坐标;

②点Q在直线1上,在直线l平移过程中,当COQ是等腰直角三角形时,请直接写出点Q的坐标.

【答案】(1)证明见解析;(2)①点P坐标为(3,0)(15,0);②点Q坐标为:(﹣4,3),(7,1),(

【解析】

1)根据两点距离公式可求AO=BC=CO=AB=5,即可证四边形OABC是菱形;
2)①分点P在线段OA上,在点A右侧两种情况讨论,根据题意可求OP的长,即可求点P的坐标;
②分三种情况讨论,根据全等三角形的判定和性质,可求点Q的坐标.

证明:(1A的坐标为(50),点B的坐标为(84),点C的坐标为(34),O点坐标(00

AOBC5CO5AB 5

AOBCCOAB5

四边形ABCO是菱形

2当点P在线段OA上,

OPPA32OP+AP5

OP3PA2

P坐标为(30

当点P在点A的右侧,

OPPA32OPAPOA5

OP15AP10

P坐标为(150

如图,当COQ90°OCOQ时,过点CCEOAE,则OE3CE4

∵∠COE+POQ90°COE+OCE90°

∴∠OCEPOQ,且OCOQCEOOPQ

COEQOPAAS

PQOE3OPCE4

Q坐标(﹣43

如图,当OCQ90°OCCQ时,过点CCEOA于点E,则CE4OE3

过点QFQCE于点F

∵∠OCE+ECQ90°ECQ+CQF90°

∴∠OCECQF,且OCCQOECCFQ9

OECCFQAAS

CFOE3FQCE4

EF1

QFCECEAOPQOA

四边形EPQF是矩形

EPFQ4

OP7

Q坐标为(71

如图,若CQO90°CQOQ时,过点CCEOA于点E,则CE4OE3

∵∠CQH+OQP90°PQO+QOP90°

∴∠CQHQOP,且OQCQCHQOPQ90°

OPQQHCAAS

OPHQCHPQ

CEOAPHBCPHOA

四边形CEPH是矩形,

EPCHPQHPCE4

HQ+PQHP4OP+EPOPEPOE3

OPEPPQ

Q坐标(

综上所述:点Q坐标为:(﹣43),(71),(

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