【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(5,0),点B的坐标为(8,4),点C的坐标为(3,4),连接AB、BC、OC
(1)求证四边形OABC是菱形;
(2)直线l过点C且与y轴平行,将直线l沿x轴正方向平移,平移后的直线交x轴于点P.
①当OP:PA=3:2时,求点P的坐标;
②点Q在直线1上,在直线l平移过程中,当△COQ是等腰直角三角形时,请直接写出点Q的坐标.
【答案】(1)证明见解析;(2)①点P坐标为(3,0)或(15,0);②点Q坐标为:(﹣4,3),(7,1),(,)
【解析】
(1)根据两点距离公式可求AO=BC=CO=AB=5,即可证四边形OABC是菱形;
(2)①分点P在线段OA上,在点A右侧两种情况讨论,根据题意可求OP的长,即可求点P的坐标;
②分三种情况讨论,根据全等三角形的判定和性质,可求点Q的坐标.
证明:(1)∵点A的坐标为(5,0),点B的坐标为(8,4),点C的坐标为(3,4),O点坐标(0,0)
∴AO=BC=5,CO==5,AB= =5
∴AO=BC=CO=AB=5
∴四边形ABCO是菱形
(2)①当点P在线段OA上,
∵OP:PA=3:2,OP+AP=5
∴OP=3,PA=2
∴点P坐标为(3,0)
当点P在点A的右侧,
∵OP:PA=3:2,OP﹣AP=OA=5
∴OP=15,AP=10
∴点P坐标为(15,0)
②如图,当∠COQ=90°,OC=OQ时,过点C作CE⊥OA于E,则OE=3,CE=4,
∵∠COE+∠POQ=90°,∠COE+∠OCE=90°,
∴∠OCE=∠POQ,且OC=OQ,∠CEO=∠OPQ
∴△COE≌△QOP(AAS)
∴PQ=OE=3,OP=CE=4,
∴点Q坐标(﹣4,3)
如图,当∠OCQ=90°,OC=CQ时,过点C作CE⊥OA于点E,则CE=4,OE=3,
过点Q作FQ⊥CE于点F,
∵∠OCE+∠ECQ=90°,∠ECQ+∠CQF=90°,
∴∠OCE=∠CQF,且OC=CQ,∠OEC=∠CFQ=90°,
∴△OEC≌△CFQ(AAS)
∴CF=OE=3,FQ=CE=4,
∴EF=1,
∵QF⊥CE,CE⊥AO,PQ⊥OA
∴四边形EPQF是矩形
∴EP=FQ=4
即OP=7
∴点Q坐标为(7,1)
如图,若∠CQO=90°,CQ=OQ时,过点C作CE⊥OA于点E,则CE=4,OE=3,
∵∠CQH+∠OQP=90°,∠PQO+∠QOP=90°,
∴∠CQH=∠QOP,且OQ=CQ,∠CHQ=∠OPQ=90°,
∴△OPQ≌△QHC(AAS)
∴OP=HQ,CH=PQ,
∵CE⊥OA,PH⊥BC,PH⊥OA
∴四边形CEPH是矩形,
∴EP=CH=PQ,HP=CE=4,
∵HQ+PQ=HP=4=OP+EP,OP﹣EP=OE=3,
∴OP=,EP=PQ=
∴点Q坐标()
综上所述:点Q坐标为:(﹣4,3),(7,1),()
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,且点A在点B的左侧,直线y=﹣x﹣1与抛物线交于A,C两点,其中点C的横坐标为2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求线段PE长度的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数的图象经过点B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)请在图中,画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在图中y轴右侧,画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为_____.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为( )
A. 56° B. 62° C. 68° D. 78°
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【题目】在平面直角坐标系xOy内有三点:(0,﹣2),(1,﹣1),(2.17,0.37).则过这三个点_____(填“能”或“不能”)画一个圆,理由是_____.
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