Question

1．重庆巴南区某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克3元，售价是每千克4元，年销量为10（万千克）．多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金X（万元），该种蔬菜的年销量将是原年销量的m倍，它们的关系如下表：

x（万元）	0	1	2	3	4	…
m	1	1.5	1.8	1.9	1.8	…

（1）用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识估计并验证m与x之间的函数关系式．
（2）若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润W（万元）与绿色开发投入的资金x（万元）的函数关系式；并求投入的资金不低于3万元，又不超过5万元时，x取多少时，年利润最大，求出最大利润．
（3）基地经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增加，且增加的销量y（万千克）与增加种植人员的奖金z（万元）之间满足y=-z²+4z，若基地将投入5万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润达到17万元且绿色开发投入大于奖金？（$\sqrt{2}=1.4$，$\sqrt{3}=1.7$）

Answer 1

分析 （1）根据题意判断出函数解析式的形式，再利用待定系数法求二次函数解析式，可求出m与x的二次函数关系式．
（2）根据题意可知S=（3-2）×10m-x=-x²+5x+10；
（3）将m代入（2）中的W=-x²+5x+10，故W=-m²+5m+10；再将（5-m）代入y=-z²+4z，故y=-（5-m）²+4（5-m）=-m²+6m-5，由于单位利润为1，所以由增加奖金而增加的利润就是-m²+6m-5，进而求出总利润W'=（-m²+5m+10）+（-m²+6m-5）-（5-m）=-2m²+12m，即可得出答案．

解答 解：（1）根据不是一次函数（不是线性的），也不是反比例函数（m*x的值不是常数），所以选择二次函数，
设m与x的函数关系式为m=ax²+bx+c，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+b+c=1.5}\\{4a+2b+c=1.8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.1}\\{b=0.6}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴m与x的函数关系式为：m=-0.1x²+0.6x+1；
（2）∵利润=销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，
∴W=（3-2）×10m-x=-x²+5x+10；
当x=-$\frac{b}{2a}$=2.5时，W最大，
∵由于投入的资金不低于 3 万元，又不超过 5 万元，所以3≤x≤5，
而a=-1＜0，抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧，W随x的增大而减小，故最大值在x=3处，
∴当x=3时，W最大为：16万元；
（3）设用于绿色开发的资金为m万元，则用于提高奖金的资金为（5-m）万元，
将m代入（2）中的W=-x²+5x+10，故W=-m²+5m+10；
将（5-m）代入y=-z²+4z，故y=-（5-m）²+4（5-m）=-m²+6m-5，
由于单位利润为1，所以由增加奖金而增加的利润就是-m²+6m-5；
所以总利润W'=（-m²+5m+10）+（-m²+6m-5）-（5-m）=-2m²+12m，
因为要使年利润达到17万，所以-2m²+12m=17，
整理得2m²-12m+17=0，
解得：m=$\frac{6+\sqrt{2}}{2}$≈3.7或m=$\frac{6-\sqrt{2}}{2}$≈2.3，而绿色开发投入要大于奖金，
所以m=3.7，5-m=1.3．
所以用于绿色开发的资金为3.7万元，奖金为1.3万元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，以及待定系数法求二次函数解析式和一元二次方程的解法等知识，根据已知得出由增加奖金而增加的利润是解题关键．