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【题目】阅读下面材料:

在学习《圆》这一章时,老师给同学们布置了一道尺规作图题:

尺规作图:过圆外一点作圆的切线.

已知:P⊙O外一点.

求作:经过点P⊙O的切线.

小敏的作法如下:如图,

(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MNOP于点C.

(2)以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交⊙OA,B两点.

(3)作直线PA,PB.

老师认为小敏的作法正确.

请回答:连接OA,OB后,可证∠OAP=∠OBP=90°,其依据是   ;由此可证明直线PA,PB都是⊙O的切线,其依据是   .请写出证明过程.

【答案】直径所对圆周角为直角,经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.证明详见解析.

【解析】

根据圆周角定理以及切线的判定方法即可得解.

OA,OB后,可证∠OAP=∠OBP=90°,其依据是直径所对圆周角为直角;

由此可证明直线PA,PB都是⊙O的切线,其依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

证明过程如下:

由作图可知OP⊙C的直径,

∴∠OAP=∠OBP=90°,即OA⊥PA、OB⊥PB,

∵OA、OB⊙O的半径,

∴OP⊙O的切线.

故答案为:直径所对圆周角为直角,经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

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