Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．

Answer 1

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；

（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．

【解答】解：（1）证明：连接OE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBE+∠BEC=90°，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BED=90°，

∴∠DBE+∠BDE=90°，

∴∠CBE=∠DBE，

∴∠CBE=∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA=∠ACB=90°，

即OE⊥AC，

∴AC为⊙O的切线；

（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵OE∥BC，

∴△OEF∽△CBF，

∴．

【点评】本题考查了切线的性质及判断，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直．