Question

如图，在等腰△ABC中，AB=BC，BH是高，点M是边AB的中点，而经过点B、M与C的圆同BH的交点是K，求证：BK=

3

2

R，其中R是△ABC的外接圆半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：证明题

分析：作辅助线过点M，B，C的圆心是O，△ABC的外接圆为O₁，半径为R，BM的中点是N，连接OB，ON，OO₁，O₁M，OK，O₁C，ON与BH交于点L．由点M是边AB的中点，O₁为△ABC的外接圆，得出O₁M⊥AB，同理得出ON⊥BM，从而得出BN=MN，MK∥ON，由中位线定理可得BL=LO₁=

1

2

R，通过角，边的关系可证出△OBO₁≌△OLK（AAS），从而得出BO₁=LK=R，O₁K=BL=

1

2

R，即可得出结论BK=

3

2

R．

解答：证明：设过点M，B，C的圆心是O，△ABC的外接圆为O₁，半径为R，BM的中点是N，连接OB，ON，OO₁，O₁M，OK，O₁C，ON与BH交于点L．
∵点M是边AB的中点，O₁为△ABC的外接圆，
∴O₁M⊥AB，
∵BM的中点是N，
∴ON⊥BM，BN=MN，MK∥ON，
∴BL=LO₁=

1

2

O₁B=

1

2

R，
∵OO₁⊥BC，
∴∠OO₁B+∠O₁BC=90°，
∵∠OLO₁+∠O₁BN=∠BLN+∠O₁BN=90°，∠O₁BC=∠O₁BN，
∴∠OO₁B=∠OLO₁，
又∵OB=OK，∠OBO₁=∠OKL，
在△OBO₁和△OLK中，

∠OO1B=∠OLO1 ∠OBO1=∠OKL OB=OK

，
∴△OBO₁≌△OLK（AAS），
∴BO₁=LK=R，
∴O₁K=BL=

1

2

R，
∴BK=

3

2

R．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用三角形外接圆圆心及弦的有关知识．