Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，CD=1，点E为斜边AB上动点，连接CE、DE，则△CDE周长的最小值是6．

Answer 1

分析 如图，作点C关于AB的对称点M，连接DM与AB交于点E，此时EC+ED最小，且EC+ED=EM+DE=DM，只要证明△MBD是直角三角形即可解决问题．

解答 解：如图，作点C关于AB的对称点M，连接DM与AB交于点E，此时EC+ED最小，连接BM．
∵∠ACB=90°，AC=CB=4，CD=1，
∴∠A=∠ABC=45°，DB=BC-CD=3，
∵C、M关于AB对称，
∴BM=BC=4，∠ABM=∠ABC=45°，EC=EM，
∴∠MBD=90°，
∴EC+ED=EM+ED=DM=$\sqrt{B{D}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5．
∴△CDE的周长为5+1=6．
故答案为6．

点评 本题考查最短问题、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称确定最值，需要正确画图找到点E的位置，最后利用勾股定理求出最小值，这里体现了转化的思想，属于中考常考题型．