Question

18．我们知道，完全平方式可以用平面图形的面积来表示，如图1，利用大正方形面积可以得到完全平方式
（a+b）²=a²+2ab+b²，

实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式来表示，请解答下列问题．
问题一：
（1）请写出图2所表示的代数恒等式；
（2）通过求阴影部分的面积请写出图3所表示的代数恒等式；
问题二：
（1）请写出通过阴影部分的面积可以验证的代数恒等式；
（2）如果a+b=7，a-b=4，求一个小长方形的面积．

Answer 1

分析 问题一：
（1）根据图形面积可以得出公式；
（2）根据面积关系可以得出公式（a-b）²=a²-2ab+b²；
问题二：
（1）根据图形面积可以得出；
（2）利用图4的阴影的面积公式，代入a+b=7，a-b=4，求出ab即可．

解答 解：问题一：
（1）2a²+3ab+b²=（a+b）（2a+b），
（2）（a-b）²=a²-2ab+b²；
问题二：
（1）图3为：（a-b）²=a²-2ab+b²；图4为：（a-b）²=（a+b）²-4ab；
（2）由图4可知：（a-b）²=（a+b）²-4ab；
∵a+b=7，a-b=4，
∴4²=7²-4ab，
∴ab=$\frac{33}{4}$，
故一个小长方形的面积为$\frac{33}{4}$．

点评 此题考查了对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．